ABSTRAK
Karya ini menyajikan generalisasi jaringan Boolean ke jaringan multistate melalui set komplemen tertutuppersamaan matematika, yang bisa terbatas atau tak terbatas. Secara khusus, kami fokus pada jaringan multistate MAX (dan MIN), yang dinamikanya diatur oleh global arbitrerpersamaan matematika-maxterm (ataupersamaan matematika-minterm), yang memperluas fungsi Boolean maxterm (atau minterm) yang terkenal. Lebih khusus lagi, kami menangani masalah analisis dinamika kombinatorial jaringan ini. Hasilnya, kami menentukan jenis orbit periodik yang dapat ada dan hidup berdampingan secara bersamaan, ketika semua simpul adalah self-loop dan grafiknya tidak berarah. Secara khusus, kami menunjukkan bahwa hanya titik tetap dan orbit 2-periodik yang dapat muncul dalam sistem ini dengan menggunakan alat yang berasal dari aljabar dan teori grafik. Artinya, terlepas dari jumlah elemen (terbatas atau tak terbatas), jenis orbit periodik tetap sama dengan jaringan Boolean MAX dan MIN. Namun, kami menunjukkan bahwa koeksistensi titik tetap dan orbit 2-periodik dimungkinkan dalam jaringan ini, yang kontras dengan hasil yang diketahui untuk kasus Boolean. Selain itu, kami memberikan kondisi yang cukup dan perlu untuk mengkarakterisasi keberadaan titik tetap dan orbit 2-periodik, serta koeksistensi mereka.
1 Pendahuluan
Jaringan Boolean (BN) (deterministik) denganpersamaan matematikaentitas, juga disebut sistem dinamika finit Boolean (lihat, misalnya, [ 1 , 2 ]), didefinisikan oleh operator evolusi globalpersamaan matematika, di atas ruang negarapersamaan matematikayang memiliki struktur (aljabar) aljabar Boolean. Ketikapersamaan matematika, sistem ini hanyalah sebuah BN biner standar. Diberikan sebuah BN, yaitu,persamaan matematika, tujuan utamanya adalah untuk memahami dinamikanya dan, khususnya, konfigurasi batas yang konvergen melalui iterasipersamaan matematika, yaitu orbit periodiknya. Fitur-fitur ini telah dipelajari secara mendalam dari berbagai perspektif (lihat, misalnya, [ 3 – 7 ]).
BN biasanya direpresentasikan dengan grafikpersamaan matematika, di mana simpul-simpulnya sesuai dengan entitas, dan sisi-sisinya mewakili pengaruh antara dua entitas tersebut. Variabel-variabel status yang terkait dengan simpul-simpul, fungsi-fungsi lokalpersamaan matematikamenggambarkan interaksi, dan jadwal untuk memperbarui nilai status dari waktu ke waktu, menentukanpersamaan matematikaPendekatan lain bersifat probabilistik, di mana setiap fungsi lokal dipilih berdasarkan probabilitas yang diberikan sebelum setiap iterasi, sehingga menimbulkan ketidakpastian dalam sistem (lihat [ 8 ] dan referensi di dalamnya).
BN standar (biner) telah berhasil diterapkan untuk memodelkan fenomena yang tak terhitung jumlahnya: jaringan pengatur gen ([ 9 – 11 ]), interaksi sosial ([ 12 ]), epidemi ([ 13 ]), fenomena fisik ([ 14 , 15 ]), dan seterusnya. Namun, kesederhanaan yang membuatnya kuat juga bisa menjadi keterbatasan. Fenomena dunia nyata dan proses komputasi sering kali memerlukan model di mana entitas dapat mengambil lebih dari dua status on-off ([ 16 – 18 ]). Model BN biner tidak cukup ekspresif untuk menangkap situasi ini. Misalnya, dalam jaringan pengatur gen, gen berinteraksi dengan cara yang kompleks, dengan aktivasi dan represi terjadi sedemikian rupa sehingga tingkat aktivitas gen bervariasi tergantung pada faktor eksternal ([ 18 ]). Oleh karena itu, untuk mengatasi keterbatasan ini, penelitian terbaru bertujuan untuk memperluas hasil BN ke jaringan yang lebih umum, non-biner, atau deterministik multistatus. Jaringan tersebut memperluas jaringan dengan nilai status biner dan memungkinkan pemodelan sistem biologi dan rekayasa yang kompleks yang lebih tepat. Karena model realistis sering kali memerlukan lebih dari dua keadaan, jaringan ini telah digunakan dalam pemodelan matematika. Aplikasinya meliputi sistem biologis seperti perilaku melayang Escherichia coli ([ 16 ]) dan proses denitrifikasi pada bakteri ([ 19 ]). Kemajuan teoritis lainnya meliputi versi multikeadaan dari model Ising ([ 20 ]), model Greenberg-Hastings untuk media yang dapat dirangsang ([ 21 ]), dan model lain untuk dinamika pasar saham ([ 22 ]) dan epidemiologi ([ 23 ]) (lihat juga [ 24 ] dan referensi di dalamnya).
