ABSTRAK
Membiarkanmenjadi grafik di mana setiap sisinya diberi salah satu warna, dan biarkanmenjadi subkelompok dariOperasi peralihan pada suatu titikdarisehubungan dengan suatu elemendarimengubah warna tepi yang insiden denganmenurutKami menyelidiki kompleksitas apakah ada urutan sakelar yang mengubah suatu objek tertentu-grafik berwarna tepisehingga memiliki homomorfisme pelestarian warna tepi ke suatu tetap-grafik berwarna tepidan berikan teorema dikotomi jikabertindak secara transitif.

1 Pendahuluan
Homomorfisme suatu grafikke grafikadalah pemetaansedemikian rupa sehingga kapan punkami memilikiTitik puncak daridapat dianggap sebagai warna sehingga homomorfisme adalah penugasan warna pada titik-titiksehingga simpul-simpul yang berdekatan diadalah warna yang ditugaskan yang berdekatan di. Dengan demikian, homomorfisme menggeneralisasi pewarnaan verteks. Sudut pandang ini memungkinkan seseorang untuk mempelajari pertanyaan alami tentang pewarnaan untuk homomorfisme dan generalisasinya (lihat [ 1 ] dan referensinya). Misalnya,- Masalah pewarnaan digeneralisasikan sebagai berikut.menjadi grafik tetap.

Hasil yangpersamaan matematika- Pewarnaan dapat diselesaikan dalam waktu polinomial untukpersamaan matematikadan NP-lengkap untukpersamaan matematikamenggeneralisasi Teorema Dikotomi Homomorfisme Neraka-Nešetřil.

Teorema 1.1. Misalkanpersamaan matematikamenjadi grafik tetap. Maka Hom -persamaan matematikaMasalahnya dapat diselesaikan dalam waktu polinomial jikapersamaan matematikaadalah bipartit; jika tidak, Hom -persamaan matematikaadalah NP-lengkap.

(Kami mencatat bahwa Hom -persamaan matematikajuga disebutpersamaan matematika- Pewarnaan dalam literatur, tetapi kami memilih yang pertama dalam makalah ini karena lebih sesuai dengan pengaturan kami yang didefinisikan di bawah ini.)

Homomorfisme secara alami didefinisikan pada objek seperti grafik lainnya, misalnya digraf ataupersamaan matematika-grafik berwarna tepi, dan dengan demikian kompleksitas komputasi Hom -persamaan matematikajuga dapat dipelajari dalam pengaturan ini. Hasil utama dari penelitian ini adalah teorema dikotomi struktural (atau kombinatorial) untuk masalah homomorfisme dalam pengaturanpersamaan matematika-grafik berwarna tepi yang dilengkapi dengan operasi pergantian warna tepi. (Definisi formal ada di bawah.) Kami menunjukkan, analog dengan Teorema Dikotomi Hell-Nešetřil, masalah tersebut dapat dipecahkan dalam waktu polinomial jikapersamaan matematikasecara homomorfik setara denganpersamaan matematikaataupersamaan matematika; jika tidak, masalahnya adalah NP-lengkap.

1.1 Pendahuluan
Pengaturan umum untuk pekerjaan kami adalah sebagai berikut.persamaan matematikamenjadi grafik. Kita memperoleh grafik campuran daripersamaan matematikadengan memilih subsetpersamaan matematikadan orientasi untuk setiap elemenpersamaan matematika, sehingga struktur yang dihasilkan memiliki sisi dan busur. Kami membatasi perhatian kami pada kasus di manapersamaan matematikaadalah grafik sederhana, sehingga memperoleh apa yang bisa (dan seharusnya) disebut grafik campuran sederhana tetapi kita hilangkan kualifikasi “sederhana” karena konteksnya jelas di seluruh makalah. Grafik campuran diperkenalkan oleh Nešetřil dan Raspaud [ 2 ] dalam upaya untuk menyatukan hasil homomorfisme untuk grafik berorientasi dan grafik berwarna 2-sisi. Untuk bilangan bulat non-negatif tetappersamaan matematika, sebuahpersamaan matematika- grafik campuran adalah grafik campuranpersamaan matematikadi mana setiap sisi telah diberi warna daripersamaan matematikadan setiap busur telah diberi warna daripersamaan matematika.

Kami sekarang memperkenalkan operasi switching . Studi tentang switching melibatkan beberapa konsep dasar dari aljabar, yang kami rujuk pada teks oleh Gallian [ 3 ]. Diberikanpersamaan matematika-grafik campuran dan titik sudutpersamaan matematika, operasi pengalihan pada persamaan matematikamengubah warna sisi, warna busur, dan arah busur yang insiden terhadappersamaan matematikaberkenaan dengan beberapa elemen dari grup permutasi yang bekerja pada warna tepi, warna busur, dan arah busur. (Homomorfisme daripersamaan matematika-grafik campuran dengan operasi switching dipelajari di [ 4 , 5 ], lihat juga [ 6 ].)

Meskipun susunan penelitian ini berlaku untuk umumpersamaan matematika-grafik campuran, membangun teorema dikotomi struktural dengan campuran sisi dan busur kemungkinan akan rumit seperti yang dijelaskan di Bagian 1.2 . (Pengurangan kasus hanya busur ke kasus hanya sisi untuk grafik bipartit muncul di [ 4 ].) Jadi, untuk makalah ini kita akan membatasi perhatian kita pada grafik tak berarah sederhana dengan sisi berwarna.

Secara formal, untuk bilangan bulat tetappersamaan matematika, sebuahpersamaan matematika- grafik berwarna tepi adalah pasangan terurutpersamaan matematikaDi manapersamaan matematikaadalah sebuah grafik danpersamaan matematikaadalah fungsi yang menetapkan setiap sisipersamaan matematikawarna daripersamaan matematikaKami memanggilpersamaan matematikagrafik yang mendasarinyapersamaan matematikaSeperti yang telah disebutkan di atas, kami membatasi perhatian kami pada kasus dimanapersamaan matematikasederhana. Kita katakanpersamaan matematikaadalah suatu siklus jika grafik yang mendasarinyapersamaan matematikaadalah suatu siklus, dan hal serupa berlaku untuk jalan, pohon, dan lain-lain.