Abstrak
Untuk automorfisme polinomial hiperbolik darimathematical equationdengan himpunan Julia yang terputus, dan dalam kondisi disipativitas ringan, kami memberikan deskripsi topologi komponen-komponen himpunan Julia. Yaitu, ada banyak “kuasi-solenoida” yang mengatur perilaku asimptotik orbit semua komponen nontrivial. Ini dapat dilihat sebagai dekomposisi spektral yang disempurnakan untuk peta hiperbolik, serta versi dua dimensi dari teori Branner–Hubbard (yang digeneralisasi) dalam dinamika polinomial satu dimensi. Unsur geometris penting dari teori ini adalah sifat seperti John dari himpunan Julia dalam daun yang tidak stabil.

1. PENDAHULUAN
1.1 Pembukaan tentang dinamika hiperbolik
Dekomposisi spektral klasik dari difeomorfisme nyata hiperbolik (Aksioma A)mathematical equationdari manifold kompak (dikembangkan oleh Smale, Anosov, Sinai, Bowen, dan lain-lain) memberi kita gambaran topologi yang cukup lengkap tentang dinamikanya. Yaitu, himpunan non-pengembaramathematical equationdidekomposisi menjadi himpunan dasar yang jumlahnya terbatas , yang masing-masing dimodelkan pada rantai Markov yang tak tereduksi. Di antara himpunan dasar ini, ada beberapa atraktor yang mengatur perilaku asimtotik titik generik manifold. Gambar ini telah menjadi pola dasar untuk banyak pengaturan lain, termasuk sistem dinamika hiperbolik satu dimensi, tak dapat dibalik, holomorfik, sebagian, atau tak seragam.

Dalam konteks automorfisme polinomial kompleksmathematical equation, peta hiperbolik muncul secara alami sebagai gangguan dari polinomial hiperbolik satu dimensi. Mereka pertama kali dipelajari pada akhir tahun 1980-an oleh Hubbard dan Oberste-Vorth [ 24 , 25 ] yang menunjukkan bahwa struktur topologi mereka dapat sepenuhnya dijelaskan dalam bentuk peta satu dimensi asli, yang himpunan Julia dan siklus tariknya terganggu pada himpunan dasarmathematical equation(lihat juga Fornæss–Sibony [ 19 ]).

Percobaan komputer menunjukkan bahwa, meskipun hiperbolik bukanlah fenomena yang lazim dalam dimensi dua, seharusnya masih ada banyak contoh nonperturbatif. Kandidat pertama (peta Hénon kuadratik dengan dua siklus tarik-menarik yang hidup berdampingan) diusulkan oleh Hubbard; itu diselidiki lebih lanjut oleh Oliva dalam tesisnya [ 38 ]. Namun, ini adalah masalah yang menantang, yang memerlukan bantuan komputer, untuk membuktikan hiperbolik dari contoh tertentu, dan yang ini masih belum dikonfirmasi. Beberapa waktu kemudian, Ishii membenarkan hiperbolik dari beberapa peta Hénon nonperturbatif lainnya: lihat [ 26-28 ] (tentu saja, bersama dengan setiap contoh tersebut muncul serangkaian parameter hiperbolik terbuka).

Teori sistematis automorfisme polinomial hiperbolikmathematical equationdiluncurkan oleh Bedford dan Smillie pada awal tahun 1990-an, terutama mengandalkan metode dari teori pluripotensial. Secara khusus, mereka menunjukkan dalam [ 3 ] bahwa setiap peta tersebut hanya memiliki satu set dasar nontrivial, set Julia-nyamathematical equation, sementara yang lainnya hanya menarik siklus. Studi kombinatorial lebih lanjut tentang peta Hénon hiperbolik dilakukan oleh Ishii dan Smillie [ 29 ].

Dalam makalah ini, kami akan mengungkap struktur yang lebih halus dari himpunan Julia, yang terkait dengan komponen-komponennya yang terhubung, yang mengarah pada “dekomposisi spektral” yang lebih halus. Yaitu, dengan asumsi disipasi ringan, kami akan menunjukkan bahwa ada banyak kuasi-solenoida yang mengatur perilaku asimtotik semua komponen nontrivial. Beberapa kuasi-solenoida ini jinak (yaitu, terletak pada batas cekungan beberapa siklus tarik-menarik), sementara yang lain mungkin aneh (kami tidak tahu apakah mereka benar-benar ada).

Mari kita simpulkan pembukaan ini dengan menyarankan peran penting yang mungkin dimainkan oleh peta hiperbolik dalam cerita Hénon. Peta hiperbolik tidak hanya merupakan model sederhana yang menarik untuk situasi hiperbolik umum yang tidak seragam, tetapi juga dapat dilihat sebagai “bibit” untuk teori renormalisasi yang akan mengarah pada fitur kesamaan diri dari ruang parameter. Dalam hal ini, menormalisasi ulang peta hiperbolik Hénon di sekitar kuasi-solenoida akan menjadi awal cerita ini.

1.2 Prototipe satu dimensi
Memahami struktur topologi himpunan Julia merupakan salah satu masalah paling mendasar dalam dinamika holomorfik. Untuk polinomial dalam satu variabel, Fatou dan Julia membuktikan bahwa sifat konektivitas himpunan Julia ditentukan oleh perilaku dinamis titik kritis. Ketika titik kritis tidak lolos, himpunan Juliamathematical equationterhubung; sebaliknya, jika semua titik kritis lolos,mathematical equationadalah himpunan Cantor. Jikamathematical equationterhubung dan terhubung secara lokal, teori sinar eksternal Douady dan Hubbard [ 13 ] dan teori laminasi geodesik Thurston [ 43 ] memberikan model topologi untuk himpunan Julia sebagai hasil bagi lingkaran dengan relasi ekuivalensi yang merekam pola pendaratan sinar eksternal. Ketika himpunan Julia dari sebuah polinomial terputus, ia mengakui banyak komponen yang tak terhitung banyaknya, dan satu tantangan adalah untuk mengkarakterisasi ketika sebuah komponen nontrivial (yaitu, bukan sebuah titik) dalam hal dinamika yang diinduksi pada himpunan komponen. Ternyata ini terjadi ketika dan hanya ketika komponen ini preperiodik terhadap komponen yang berisi titik kritis: ini disebabkan oleh Branner dan Hubbard [ 8 ] untuk polinomial kubik, dan Qiu dan Yin [ 40 ] dalam kasus umum (berdasarkan mesin Kahn–Lyubich [ 30 , 31 ]). Selanjutnya, kita dapat mendeskripsikan komponen periodik nontrivial dengan merealisasikannya sebagai himpunan Julia dari peta polinomial terhubung dan menggunakan Teorema Pelurusan Douady dan Hubbard [ 14 ].

Dalam kasus hiperbolik, teori di atas jauh lebih mudah dan telah menjadi bagian dari cerita rakyat di lapangan.

Teorema 1.1. Misalkanmathematical equationmenjadi polinomial hiperbolik dimathematical equation, dengan set Julia yang terputus. Kemudian, set Julia yang terisimathematical equationmemiliki komponen yang tak terhitung banyaknya, dan hanya terhitung banyaknya yang bersifat nontrivial. Setiap komponen nontrivial bersifat praperiodik, dan terdapat komponen periodik yang jumlahnya terbatas, yang masing-masing mengandung titik periodik yang menarik.

Perhatikan bahwa ini sebenarnya adalah pernyataan tentang polinomial: ada contoh peta rasional hiperbolik dimathematical equationyang himpunan Julia-nya adalah himpunan Cantor dari lingkaran [ 37 ].

1.3 Hasil utama
Dalam artikel ini, kami membahas masalah serupa dalam pengaturan automorfisme polinomialmathematical equation. Membiarkanmathematical equationmenjadi automorfisme polinomial darimathematical equationdengan dinamika nontrivial: dengan ini, kita maksudkan, misalnya, bahwa derajat aljabar dari iterasimathematical equationcenderung tak terhingga (lihat di bawah § 2.1 untuk rincian lebih lanjut tentang ini). Himpunan Julia-nyamathematical equationadalah himpunan titik-titik di mana keduanyamathematical equationDanmathematical equationtidak normal secara lokal. Kami juga secara klasik menunjukkan denganmathematical equation(resp.mathematical equation), himpunan titik dengan orbit maju (resp. mundur) yang dibatasi,mathematical equationDanmathematical equation, sehinggamathematical equationJacobian kompleksmathematical equationadalah konstanta bukan nol. Jadi, menggantimathematical equationolehmathematical equationjika perlu, tanpa kehilangan keumumannya, kami berasumsi mulai sekarang bahwamathematical equation.