Abstrak
Kami membuktikan identitas sederhana yang menghubungkan spektrum panjang permukaan Riemann dengan spektrum permukaan yang sama dengan jumlah titik puncak tambahan yang sembarang. Pembuktian kami menggunakan ukuran loop Brown yang diperkenalkan oleh Lawler dan Werner. Secara khusus, kami menyatakan massa total loop Brown dalam kelas homotopi bebas tetap pada permukaan Riemann mana pun dalam hal panjang perwakilan geodesik untuk metrik kelengkungan konstan yang lengkap. Ekspresi ini juga memungkinkan kami untuk menulis ketebalan listrik dari himpunan kompak dalammathematical equationmemisahkan 0 danmathematical equation, atau potensi Velling–Kirillov Kähler, dalam hal ukuran loop Brown dan determinan Laplacian yang diregulasi zeta sebagai renormalisasi ukuran loop Brown terhadap spektrum panjang.