ABSTRAK
Grafik bipartitmathematical equationdenganmathematical equationadalah biregular jika semua titik sudut dari setiap himpunan stabil,mathematical equationDanmathematical equation, memiliki derajat yang sama,mathematical equationDanmathematical equation, masing-masing. Makalah ini mengkaji himpunan perbedaan yang berasal dari grup Abelian dan non-Abelian. Dari himpunan tersebut, kami mengusulkan beberapa konstruksi graf bireguler bipartit dengan diametermathematical equationdan urutan optimal asimtotik untuk derajat tertentumathematical equationDanmathematical equation, yang berarti bahwa secara asimtotik orde tersebut mendekati kelipatan tetap dari batas Moore. Selain itu, kita menemukan beberapa graf biMoore, yaitu graf bireguler bipartit yang mencapai batas Moore.

1 Pendahuluan
Masalah derajat /diameter untuk graf adalah menemukan orde terbesar dari graf dengan derajat dan diameter yang ditentukan. Nilai maksimum dari angka ini adalah batas Moore , dan graf yang ordenya bertepatan dengan batas ini disebut graf Moore . Ada banyak pekerjaan yang terkait dengan topik ini (lihat survei oleh Miller dan Širáň [ 1 ]), dan juga pada subjek ini dengan beberapa batasan sehubungan dengan masalah aslinya. Salah satunya terkait dengan graf Moore bipartit. Dalam kasus ini, tujuannya adalah untuk menemukan graf bipartit reguler dengan orde maksimum dan diameter tetap. Dalam makalah ini, kami menangani masalah yang diprakarsai oleh Yebra et al. [ 2 ] pada tahun 1983, yang terdiri dari menemukan graf Moore bireguler.

Grafik bipartitmathematical equationdenganmathematical equationadalah biregular jika semua simpul dari himpunan stabilmathematical equation, untukmathematical equation, memiliki derajat yang sama. Kita menggunakan istilahpersamaan matematika-bigraf untuk menunjukkan grafik bireguler bipartit derajatpersamaan matematikaDanpersamaan matematikadan diameterpersamaan matematika; dan olehpersamaan matematika-biMoore grafik grafik bireguler bipartit dengan diameterpersamaan matematikayang mencapai batas Moore, yang dilambangkanpersamaan matematikaPerhatikan bahwa membangun grafik ini setara dengan membangun desain blok, di mana satu set partite sesuai dengan titik-titik desain blok, dan set lainnya sesuai dengan blok-blok desain. Selain itu, setiap titik berada dalam jumlah yang tetappersamaan matematikadari blok, dan ukuran setiap blok samapersamaan matematikaGrafik kejadian dari desain blok ini adalahpersamaan matematika-bigraf. Faktanya, grafik bireguler bipartit dengan derajatpersamaan matematikaDanpersamaan matematikadan partisi yang sesuai dengan ukuranpersamaan matematikaDanpersamaan matematika, memiliki diameter 3, adalah grafik Levi daripersamaan matematika-desain penutup yang sama persispersamaan matematikapadapersamaan matematikapoin denganpersamaan matematikablok ukuranpersamaan matematika, dengan properti yang desain gandapersamaan matematikajuga merupakan desain penutup.

GAMBAR 1 — (a) Satu-satunya grafik [4,3;3]-biMoore pada 14 titik sudut. (b) Salah satu dari dua grafik [5,3;3]-biMoore pada 16 titik sudut. (c) Satu-satunya grafik [6,3;3]-biMoore pada 21 titik sudut.

Tabel 1. Untuk diameterd=3dan nilai apa punr, terdapat batas-batas Moore ( 5 ) pada baris pertama, dan jumlah titik sudut yang lebih baik atau optimal ketika suatu konstruksi diketahui pada baris kedua. Nilai-nilai optimal yang diketahui (paling bertepatan dengan batas-batas Moore) dicetak tebal. Tanda bintang sesuai dengan grafik yang diperoleh dalam [ 5 ] (lihat juga Proposisi 2.2 dari makalah tersebut), dan berlian sesuai dengan grafik yang unik. Kasus-kasus di manar=s=q+1, denganqpangkat prima, sesuai dengan grafik kejadian titik-garis dari bidang proyektif.

r\s	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	6
	6
3	5	14
	∄	14
4	9	14	26
	9	◇14*◇	26
5	7	16	27	42
	∄	16*	18	42
6	12	24	35	44	62
	12	◇21◇	—	—	62
7	9	20	33	48	65	86
	∄	20*	—	—	—	—
8	15	22	42	52	70	90	114
	15	22*	—	—	—	—	114
9	11	32	39	56	80	96	119	146
	∄	2⁢8*	—	—	—	—	—	146
10	18	26	49	69	88	102	126	152	182
	18	26*	—	66	80	—	—	—	182
11	13	28	45	64	85	108	133	160	189	222
	∄	28*	—	—	—	—	—	—	—	—
12	21	40	60	68	99	114	145	175	198	230	266
	21	◇3⁢5*◇	—	—	—	—	—	—	—	—	266

Tabel 2. Peningkatan batas Moore ( 8 ) untuk diameterd=3Nilai optimal yang diketahui dicetak tebal. (Bandingkan dengan nilai pada Tabel 1. )

s\r	6	9	12	16	20	24	25	28	30	32	35	36
3	21	28
4	—	—	56	70	84	98	—	112	—	126	—	140
5	—	—	—	—	115	—	138	—	161	—	184	—

i\j	angka 0	1	3	9
angka 0	angka 0	12	10	4
1	1	angka 0	11	5
3	3	2	angka 0	7
9	9	8	6	angka 0

GAMBAR 2 — Grafik lebih . Memiliki 21 titik sudut, derajat dan diameter 3.

GAMBAR 3 — Grafik bipartit lebih . Memiliki 39 titik sudut, derajat , dan diameter 3.

s	Γ	S	Gm⁡(S)	terikat ( 8 )
		Urutan	Moore
3	Z7	{0,1,3}	7⁢(m+1)	7⁢(m+1)
4	Z13	{0,1,3,9}	13⁢(m+1)	14⁢(m+1)
5	Z21	{0,1,4,14,16}	21⁢(m+1)	23⁢(m+1)
6	Z31	{0,1,6,18,22,29}	31⁢(m+1)	34⁢(m+1)
8	Z57	{0,1,5,7,17,35,38,49}	57⁢(m+1)	62⁢(m+1)
9	Z73	{0,1,17,39,41,44,48,54,62}	73⁢(m+1)	79⁢(m+1)
10	Z91	{0,1,3,9,27,49,56,61,77,81}	91⁢(m+1)	98⁢(m+1)
12	Z133	{0,1,3,12,20,34,38,81,88,94,104,109}	133⁢(m+1)